高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程測評訓練含解析北師大版選修1_1

這是一份高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程測評訓練含解析北師大版選修1_1，共12頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。
?第二章測評
(時間:120分鐘　滿分:150分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
1.下列曲線中離心率為62的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.x22-y24=1 B.x24-y22=1
C.x24-y26=1 D.x24-y210=1
解析:雙曲線x24-y22=1的離心率e=4+22=62.
答案:B
2.平面上有兩個定點A,B及動點P,命題甲:“|PA|-|PB|是定值”,命題乙:“點P的軌跡是以A,B為焦點的雙曲線”,則甲是乙的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
解析:當|PA|-|PB|=|AB|時,點P的軌跡是一條射線,故甲乙,而乙?甲,故選B.
答案:B
3.已知橢圓與雙曲線x23-y22=1有共同的焦點,且離心率為15,則橢圓的標準方程為(　　)
A.x220+y225=1 B.x225+y220=1
C.x225+y25=1 D.x25+y225=1
解析:雙曲線x23-y22=1中,a12=3,b12=2,則c1=a12+b12=5,故焦點坐標為(-5,0),(5,0),故所求橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的c=5,又橢圓的離心率e=ca=15,則a=5,a2=25,b2=a2-c2=20,故橢圓的標準方程為x225+y220=1.
答案:B
4.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1的焦距為10,點P(2,1)在雙曲線C的漸近線上,則雙曲線C的方程為(　　)
A.x220-y25=1 B.x25-y220=1
C.x280-y220=1 D.x220-y280=1
解析:根據(jù)雙曲線標準方程中系數(shù)之間的關系求解.
∵x2a2-y2b2=1的焦距為10,
∴c=5=a2+b2.①
又雙曲線漸近線方程為y=±bax,且P(2,1)在漸近線上,∴2ba=1,即a=2b.②
由①②解得a=25,b=5,故選A.
答案:A
5.(2017全國Ⅰ高考)已知F是雙曲線C:x2-y23=1的右焦點,P是C上一點,且PF與x軸垂直,點A的坐標是(1,3),則△APF的面積為(　　)
A.13 B.12 C.23 D.32
解析:由c2=a2+b2=4,得c=2,所以點F的坐標為(2,0).將x=2代入x2-y23=1,得y=±3,所以|PF|=3.
又點A的坐標是(1,3),故△APF的面積為12×3×(2-1)=32,故選D.
答案:D
6.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=3x,它的一個焦點在拋物線y2=24x的準線上,則雙曲線的方程為(　　)
A.x236-y2108=1 B.x29-y227=1
C.x2108-y236=1 D.x227-y29=1
解析:拋物線y2=24x的準線方程為x=-6,故雙曲線中c=6.①
由雙曲線x2a2-y2b2=1的一條漸近線方程為y=3x,知ba=3,②
且c2=a2+b2.③
由①②③解得a2=9,b2=27.
故雙曲線的方程為x29-y227=1,故選B.
答案:B
7.P是長軸在x軸上的橢圓x2a2+y2b2=1上的點,F1,F2分別為橢圓的兩個焦點,橢圓的半焦距為c,則|PF1|·|PF2|的最大值與最小值之差一定是(　　)
A.1 B.a2 C.b2 D.c2
解析:由橢圓的幾何性質得|PF1|∈[a-c,a+c],|PF1|+|PF2|=2a,
所以|PF1|·|PF2|≤|PF1|+|PF2|22=a2,
當且僅當|PF1|=|PF2|時取等號.
|PF1|·|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)
=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2
≥-c2+a2=b2,
所以|PF1|·|PF2|的最大值與最小值之差為a2-b2=c2.
答案:D
8.若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A,B兩個不同的點,且AB的中點的橫坐標為2,則k等于(　　)
A.2或-1 B.-1 C.2 D.1±5
解析:由y=kx-2,y2=8x消去y,得k2x2-4(k+2)x+4=0,
故Δ=[-4(k+2)]2-4k2×4=64(1+k)>0,
解得k>-1,由x1+x2=4(k+2)k2=4,
解得k=-1或k=2,又k>-1,故k=2.
答案:C
9.設雙曲線x2a2-y2b2=1的一條漸近線與拋物線y=x2+1只有一個公共點,則雙曲線的離心率為(　　)
A.54 B.5 C.52 D.5
解析:雙曲線x2a2-y2b2=1的一條漸近線方程為y=bax,由方程組y=bax,y=x2+1消去y,得x2-bax+1=0有唯一解,所以Δ=ba2-4=0,所以ba=2,所以e=ca=a2+b2a=1+ba2=5,故選D.
答案:D
10.在拋物線y2=8x中,以(1,-1)為中點的弦的方程是(　　)
A.x-4y-3=0 B.x+4y+3=0
C.4x+y-3=0 D.4x+y+3=0
解析:設弦的兩端點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2),則y12=8x1,y22=8x2,
兩式相減得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2),
又y1+y2=-2,∴y1-y2x1-x2=-4,
∴弦所在直線的斜率為-4,
又過點(1,-1),∴所求直線方程為4x+y-3=0.
答案:C
11.如圖,南北方向的公路L,A地在公路正東2 km處,B地在A北偏東60°方向23 km處,河流沿岸曲線PQ上任意一點到公路L和到A地距離相等.現(xiàn)要在曲線PQ上某處建一座碼頭,向A,B兩地運貨物,經(jīng)測算,從M到A,B修建公路的費用都為a萬元/km,那么,修建這兩條公路的總費用最低是(　　)

A.(2+3)a萬元 B.(23+1)a萬元
C.5a萬元 D.6a萬元
解析:本題主要考查拋物線的實際應用.依題意知曲線PQ是以A為焦點、L為準線的拋物線,根據(jù)拋物線的定義知,欲求從M到A,B修建公路的費用最低,只需求出B到直線L的距離即可.∵B地在A地北偏東60°方向23km處,∴B到點A的水平距離為3km,∴B到直線L的距離為3+2=5(km),那么,修建這兩條公路的總費用最低為5a萬元,故選C.
答案:C
12.(2017全國Ⅰ高考)設A,B是橢圓C:x23+y2m=1長軸的兩個端點.若C上存在點M滿足∠AMB=120°,則m的取值范圍是(　　)
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,3]∪[4,+∞)
解析:由題意,可知當點M為短軸的端點時,∠AMB最大.當0b>0)的左、右焦點分別是F1,F2,線段F1F2被點b2,0分成3∶1的兩段,則此橢圓的離心率為　　　　　.?
解析:由題意,得b2+cc-b2=3?b2+c=3c-32b?b=c,
因此e=ca=c2a2=c2b2+c2=12=22.
答案:22
15.已知拋物線C:y2=2px(p>0),過焦點F且斜率為k(k>0)的直線與C相交于A,B兩點,若AF=3FB,則k=　　　　　.?
解析:設直線l為拋物線的準線,過A,B分別作AA1,BB1垂直于l,A1,B1為垂足,過B作BE垂直于AA1于E,則|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,由AF=3FB,
∴cos∠BAE=|AE||AB|=12,
∴∠BAE=60°,∴tan∠BAE=3,即k=3.
答案:3
16.以下四個關于圓錐曲線的命題:
①設A,B為兩個定點,k為非零常數(shù),|PA|-|PB|=k,則動點P的軌跡為雙曲線;
②過定圓C上一定點A作圓的動弦AB,O為坐標原點,若OP=12(OA+OB),則動點P的軌跡為橢圓;
③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;
④雙曲線x225-y29=1與橢圓x235+y2=1有相同的焦點.
其中正確命題的序號是　　　　　.?
解析:雙曲線的定義是:平面上與兩個定點A,B的距離的差的絕對值為常數(shù)2a,且00),
又雙曲線過點(0,2),∴c=5,a=2,
∴b2=c2-a2=25-4=21,
∴雙曲線的標準方程是y24-x221=1,實軸長為4,焦距為10,離心率e=ca=52,漸近線方程是y=±22121x.
18.(本小題滿分12分)若已知橢圓x210+y2m=1與雙曲線x2-y2b=1有相同的焦點,又橢圓與雙曲線交于點P103,y,求橢圓及雙曲線的方程.
解由橢圓與雙曲線有相同的焦點,得10-m=1+b,即m=9-b,①
由點P103,y在橢圓、雙曲線上,得y2=89m,②
y2=b9,③
解由①②③組成的方程組得m=1,b=8,
∴橢圓方程為x210+y2=1,雙曲線方程為x2-y28=1.
19.導學號01844027(本小題滿分12分)(2017全國Ⅱ高考)設O為坐標原點,動點M在橢圓C:x22+y2=1上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點P滿足NP=2NM.
(1)求點P的軌跡方程;
(2)設點Q在直線x=-3上,且OP·PQ=1.證明:過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.
(1)解設P(x,y),M(x0,y0),
則N(x0,0),NP=(x-x0,y),NM=(0,y0).
由NP=2NM得x0=x,y0=22y.
因為M(x0,y0)在C上,所以x22+y22=1.
因此點P的軌跡方程為x2+y2=2.
(2)證明由題意知F(-1,0).設Q(-3,t),P(m,n),
則OQ=(-3,t),PF=(-1-m,-n),OQ·PF=3+3m-tn,OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n).
由OP·PQ=1得-3m-m2+tn-n2=1.
又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.
所以OQ·PF=0,即OQ⊥PF.
又過點P存在唯一直線垂直于OQ,
所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.
20.導學號01844028(本小題滿分12分)(2017北京高考)已知橢圓C的兩個頂點分別為A(-2,0),B(2,0),焦點在x軸上,離心率為32.
(1)求橢圓C的方程;
(2)點D為x軸上一點,過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M,N,過D作AM的垂線交BN于點E.求證:△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.
(1)解設橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).
由題意得a=2,ca=32,解得c=3.所以b2=a2-c2=1.
所以橢圓C的方程為x24+y2=1.
(2)證明設M(m,n),則D(m,0),N(m,-n).
由題設知m≠±2,且n≠0.
直線AM的斜率kAM=nm+2,
故直線DE的斜率kDE=-m+2n.
所以直線DE的方程為y=-m+2n(x-m),直線BN的方程為y=n2-m(x-2).
聯(lián)立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),
解得點E的縱坐標yE=-n(4-m2)4-m2+n2.
由點M在橢圓C上,得4-m2=4n2.
所以yE=-45n.又S△BDE=12|BD|·|yE|=25|BD|·|n|,S△BDN=12|BD|·|n|,所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.
21.(本小題滿分12分)已知橢圓C1:x24+y2=1,橢圓C2以C1的長軸為短軸,且與C1有相同的離心率.
(1)求橢圓C2的方程;
(2)設O為坐標原點,點A,B分別在橢圓C1和C2上,OB=2OA,求直線AB的方程.
解(1)由已知可設橢圓C2的方程為y2a2+x24=1(a>2),
其離心率為32,故a2-4a=32,解得a=4.
故橢圓C2的方程為y216+x24=1.
(2)設A,B兩點的坐標分別為(xA,yA),(xB,yB),
由OB=2OA及(1)知,O,A,B三點共線且點A,B不在y軸上,因此可設直線AB的方程為y=kx.
將y=kx代入x24+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,
所以xA2=41+4k2.
將y=kx代入y216+x24=1中,得(4+k2)x2=16,
所以xB2=164+k2.
又由OB=2OA,得xB2=4xA2,即164+k2=161+4k2,
解得k=±1.故直線AB的方程為y=x或y=-x.
22.導學號01844029(本小題滿分12分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長為2,離心率為22,直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點,且線段AB的垂直平分線通過點0,-12.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)求△AOB(O為坐標原點)面積的最大值.
解(1)由已知可得e=ca=22,2b=2,a2=b2+c2,解得a2=2,b2=1,
故橢圓C的標準方程為x22+y2=1.
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程y=kx+m,x22+y2=1,
消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
當Δ=8(2k2-m2+1)>0,
即2k2>m2-1時,x1+x2=-4km1+2k2,x1·x2=2m2-21+2k2,
所以x1+x22=-2km1+2k2,y1+y22=m1+2k2.
當k=0時,線段AB的垂直平分線顯然過點0,-12,S△AOB=12|AB|·|m|=12·|m|·22·1-m2=2·(1-m2)·m2.
因為m∈(-1,0)∪(0,1),
所以m2∈(0,1).
S△AOB≤2·1-12×12=22,
當m2=12時,取到等號.
當k≠0時,因為線段AB的垂直平分線過點0,-12,所以y1+y22--12x1+x22-0=-1k,化簡整理得2k2+1=2m.由2k2+1=2m,2k2+1>m2,得0