初中數(shù)學(xué)人教版八年級上冊12.2 三角形全等的判定測試題

這是一份初中數(shù)學(xué)人教版八年級上冊12.2 三角形全等的判定測試題，共27頁。試卷主要包含了已知等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2．如圖，在△ABC與△ADE中，AC＝AE，∠C＝∠E，點D在BC邊上，∠1＝∠2．試判斷BC與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
3．如圖，點D、C在線段BF上，且BD＝CF，AB∥EF，AB＝EF，判定AC與DE的位置關(guān)系，并說明理由．
4．如圖所示，A、D、B、E四點在同一條直線上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF，∠E+∠CBE＝180°，求證：AC＝DF．
5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點E，F(xiàn)在邊BC上，BE＜BF．已知BE＝CF．
（1）求證：△ABE≌△ACF；
（2）若點D在AF的延長線上，AD＝AC，∠BAE＝30°，∠BAD＝75°，求證：AB∥DC．
6．如圖，D是△ABC的邊AC上一點，點E在AC的延長線上，ED＝AC，過點E作EF∥AB，并截取EF＝AB，連接DF．求證：△EFD≌△ABC．
7．如圖，AD＝AC，∠1＝∠2＝40°，∠C＝∠D，點E在線段BC上．
（1）求證：△ABC≌△AED；
（2）求∠AEC的度數(shù)．
8．如圖過點C、B作△ABC的BC邊上的中線AD及其延長線的垂線，垂足分別為E、F．
（1）求證：BF＝CE；
（2）若△ACE的面積為4，△CED的面積為3，求△ABF的面積．
9．如圖，△ABC中，CD⊥AB，垂足為D．BE⊥AC，垂足為G，AB＝CF，BE＝AC．
（1）求證：AE＝AF；
（2）AE與AF有何位置關(guān)系．請說明理由．
10．（1）如圖1，已知△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD，請你完成圖形（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；并判斷BE與CD的大小關(guān)系為：BE CD．（不需說明理由）
（2）如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE、CD，BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
11．綜合與探究
如圖（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分別為A、B，AC＝7cm．點P在線段AB上以2cm/s的速度由點A向點B運動，同時點Q在射線BD上運動．它們運動的時間為t（s）（當(dāng)點P運動結(jié)束時，點Q運動隨之結(jié)束）．
（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當(dāng)t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，請分別說明理由；
（2）如圖（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA”，點Q的運動速度為xcm/s，其它條件不變，當(dāng)點P、Q運動到何處時有△ACP與△BPQ全等，求出相應(yīng)的x的值．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，點D在AC上，且AD＝6cm，過點A作射線AE⊥AC（AE與BC在AC同側(cè)），若動點P從點A出發(fā)，沿射線AE勻速運動，運動速度為1cm/s，設(shè)點P運動時間為t秒．連接PD、BD．
（1）如圖①，當(dāng)PD⊥BD時，求證：△PDA≌△DBC；
（2）如圖②，當(dāng)PD⊥AB于點F時，求此時t的值．
13．如圖，在銳角△ABC中，AD⊥BC于點D，點E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，點F為BC的中點，連接EF并延長至點M，使FM＝EF，連接CM．
（1）求證：BE＝AC；
（2）試判斷線段AC與線段MC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
14．如圖，△ABC中，AB＝AC，點D是△ABC外一點，且BD＝DC，CD⊥AC，點M、N分別在AB、AC上，∠MDN＝∠BDC，在AC的延長線上截取了CP＝BM，并連接DP．
（1）△MBD≌△PCD嗎？請說明理由；
（2）試說明MN＝NP．
15．如圖AB＝36米，CB⊥AB于點B，EA⊥AB于點A，已知CB＝24米，點F從點B出發(fā)，以3米/秒的速度沿BA向點A運動（到達(dá)點A停止運動），設(shè)點F的運動時間為t秒．
（1）如圖，S△BFC＝ ．（用t的代數(shù)式表示）
（2）點F從點B開始運動，點D同時從點A出發(fā)，以x米/秒的速度沿射線AE運動，是否存在這樣x的值，使得△AFD與△BCF全等？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．
16．已知∠MON＝48°，點C是∠MON的平分線上一動點，點A，B分別是邊ON，OM上動點，AB交OC于點D．
（1）如圖1，當(dāng)AB⊥OC，AC∥OB時，圖中有 對全等的三角形，∠DAC＝ °．
（2）如圖2，當(dāng)AB平分∠OAC，且∠DAC＝∠DCA時，求∠OBA的度數(shù)．
（3）如圖3，當(dāng)BA⊥AN于點A，在點C移動過程中，△ACD內(nèi)有兩個角相等時，求∠OAC的度數(shù)
17．在△ABC中，若最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的n倍（n為大于1的整數(shù)），則稱△ABC為n倍角三角形．例如：在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝120°，則稱△ABC為6倍角三角形．
（1）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，則△ABC為 倍角三角形；
（2）若一個等腰三角形是4倍角三角形，求最小內(nèi)角的度數(shù)；
（3）如圖，點E在DF上，BE交AD于點C，AB＝AD，∠BAD＝∠EAF，∠B＝∠D＝25°，∠F＝75°．找出圖中所有的n倍角三角形，并寫出它是幾倍角三角形．
18．如圖，已知在等腰△ABC中AB＝AC，點D，點E和點F分別是BC，AB和AC邊上的點，且BE＝DC，∠B＝∠EDF，試說明DE＝DF．
19．如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為 ，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為 ；
②當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
（2）如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點D在線段BC上，當(dāng)∠ACB滿足什么條件時，CF⊥BC（點C、F不重合），并說明理由．
20．一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道課后練習(xí)題：
如圖，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于點O，點P、D分別在AO和BC上，PB＝PD，DE⊥AC于點E，求證：△BPO≌△PDE．
（1）理清思路，完成解答（2）本題證明的思路可用下列框圖表示：
根據(jù)上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程．
（2）特殊位置，證明結(jié)論
若PB平分∠ABO，其余條件不變．求證：AP＝CD．
21．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD．求證：EF＝BE+FD；
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
22．CD經(jīng)過∠BCA頂點C的一條直線，CA＝CB．E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請解決下面兩個問題：
①如圖1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，則BE CF；EF |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；
②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請?zhí)砑右粋€關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件 ，使①中的兩個結(jié)論仍然成立，并證明兩個結(jié)論成立．
（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，請?zhí)岢鯡F，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）．
23．已知四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)．
當(dāng)∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時（如圖1），易證AE+CF＝EF；
當(dāng)∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．
24．如圖，已知AB＝AC，延長AC到E，并作直線DE，使其與BC，AB分別交于點G，D．
（1）若CE＝BD，求證：GE＝GD；
25．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：
①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；
（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE＝AD﹣BE；
（3）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．
參考答案
1．解：①∵BD為△ABC的角平分線，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴①正確；
②∵BD為△ABC的角平分線，BD＝BC，BE＝BA，
∴∠BCD＝∠BDC，∠BAE＝∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE＝∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，
∴②正確；
③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA，
∴∠DCE＝∠DAE，
∴△ACE為等腰三角形，
∴AE＝EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝EC，
∴AD＝AE＝EC，
∵BD為△ABC的角平分線，EF⊥AB，而EC不垂直與BC，
∴EF≠EC，
∴③錯誤；
④由③知AD＝AE＝EC，
∴④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論是①②④．
故答案是：①②④．
2．解：BC＝DE．
理由：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠1，
∵∠ADC＝∠ADE+∠2，∠1＝∠2，
∴∠B＝∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴BC＝DE．
3．解：AC∥DE．
理由：∵BD＝CF，
∴BD+CD＝CF+CD，
即BC＝DF，
∵AB∥EF，
∴∠B＝∠F，
在△ABC和△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD（SAS），
∴∠ACB＝∠EDF，
∴AC∥DE．
4．證明：∵∠E+∠CBE＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠E＝∠ABC，
∵AD＝BE，
∴AD+DB＝BE+DB，
即AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AC＝DF．
5．證明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABE＝∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，
∴∠BAE＝∠CAF＝30°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD＝75°，
∴∠BAD＝∠ADC，
∴AB∥CD．
6．證明：∵EF∥AB，
∴∠E＝∠A，
在△EFD和△ABC中，
，
∴△EFD≌△ABC（SAS）．
7．（1）證明：∵∠1＝∠2＝40°，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，
即∠BAC＝∠EAD，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（ASA）；
（2）解：由（1）得：△ABC≌△AED，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB＝（180°﹣∠1）＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠AEC＝∠1+∠B＝40°+70°＝110°．
8．解：（1）∵CE⊥AD，BF⊥AF，
∴∠CED＝∠BFD＝90°，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD，
在△CED和△BFD中，
，
∴△CED≌△BFD（AAS），
∴BF＝CE；
（2）∵AD是△ABC的中線，
∴S△ABD＝S△ACD，
∵S△ACE＝4，SCED＝3，
∴S△ACD＝S△ABD＝7，
∵△BFD≌△CED，
∴S△BDF＝S△CED＝3，
∴S△ABF＝S△ABD+S△BDF＝7+3＝10．
9．（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AGB＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠EBA＝90°，
∴∠ACD＝∠EBA，
在△AEB和△FAC中，
，
∴△AEB≌△FAC（SAS），
∴AE＝AF；
（2）解：AE⊥AF，理由如下：
由（1）知△AEB≌△FAC，
∴∠E＝∠CAF，
∵BE⊥AC，垂足為G，
∴∠AGE＝90°，
∵∠E+∠EAG＝90°，
∴∠CAF+∠EAG＝90°，
即∠EAF＝90°，
∴AE⊥AF．
27．解：（1）完成圖形，如圖所示：
證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE＝CD．
故答案是：＝；
（2）BE＝CD，理由同（1），
∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠CAD＝∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE＝CD；
11．解：（1）△ACP≌△BPO，PC⊥PO．
理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝7，
∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝90°，
∴∠APC+∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
則AC＝BP，AP＝BQ，
可得：7＝9﹣2t，2t＝xt，
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
則AC＝BQ，AP＝BP，可得：7＝xt，2t＝9﹣2t
解得：，．
綜上所述，當(dāng)△ACP與△BPQ全等時x的值為2或．
12．（1）證明：如圖①，∵PD⊥BD，
∴∠PDB＝90°，
∴∠BDC+∠PDA＝90°，
又∵∠C＝90°，
∴∠BDC+∠CBD＝90°，
∴∠PDA＝∠CBD，
又∵AE⊥AC，
∴∠PAD＝90°，
∴∠PAD＝∠C＝90°，
又∵BC＝6cm，AD＝6cm，
∴AD＝BC，
在△PAD和△DCB中，
，
∴△PDA≌△DBC（ASA）；
（2）解：如圖②，∵PD⊥AB，
∴∠AFD＝∠AFP＝90°，
∴∠PAF+∠APF＝90°，
又∵AE⊥AC，
∴∠PAF+∠CAB＝90°，
∴∠APF＝∠CAB，
在△APD和△CAB中，
，
∴△APD≌△CAB（AAS），
∴AP＝AC，
∵AC＝8cm，
∴AP＝8cm，
∴t＝8．
13．（1）證明；∵AD⊥BC，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
在△BDE與△ADC中，
，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴BE＝AC；
（2）解：AC⊥MC且AC＝MC，理由如下：
∵F為BC中點，
∴BF＝CF，
在△BFE與△CFM中，
，
∴△BFE≌△CFM（SAS），
∴∠CBE＝∠BCM，BE＝MC，
由（1）得：∠CBE＝∠CAD，BE＝AC，
∴∠CAD＝∠BCM，AC＝MC，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BCM+∠ACD＝90°，
即∠ACM＝90°，
∴AC⊥MC，
∴AC⊥MC且AC＝MC．
14．證明：（1））△MBD≌△PCD，理由如下：
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠DCB，
∴∠ABC+∠DBC＝∠ACB+∠DCB，
即∠ABD＝∠ACD，
∵CD⊥AC，
∴∠ABD＝∠ACD＝∠DCP＝90°，
在△MBD和△PCD中，
，
∴△MBD≌△PCD（SAS）；
（2）由（1）知，△MBD≌△PCD，
∴MD＝PD，∠MDB＝∠PDC，
∵∠MDN＝∠BDC，
∴∠BDM+∠NDC＝∠PDC+∠NDC＝∠NDP＝∠BDC，
∴∠MDN＝∠NDP，
在△MDN和△PDN中，
，
∴△MDN≌△PDN（SAS），
∴MN＝NP．
15．解：（1）∵BF＝3t米，∠B＝90°，CB＝24米，
∴S△BFC＝BF?CB＝?3t?24＝36t（平方米）．
故答案為：36t平方米；
（2）由題意可得，AD＝xt米，BF＝3t米．
當(dāng)△AFD與△BCF全等時，分兩種情況：
①如果△AFD≌△BCF，那么AF＝BC，AD＝BF，
∴36﹣3t＝24，xt＝3t，
解得x＝3；
②如果△AFD≌△BFC，那么AF＝BF，AD＝BC，
∴36﹣3t＝3t，xt＝24，
解得t＝6，x＝4．
故所求x的值為3或4．
16．解：（1）如圖1，∵OC平分∠MON，
∴∠AOD＝∠BOD＝24°，
∵AB⊥OC，
∴∠ADO＝∠BDO＝90°，
在△ADO和△BDO中，
，
∴△ADO≌△BDO（ASA），
∴BD＝AD，
∵AC∥OB，
∴∠ACO＝∠BOD＝∠AOC＝24°，
∴∠DAC＝66°，
在△BDO和△ADC中，
，
∴△BDO≌△ADC（AAS），
同理可證△ADC≌△ADO（AAS），
故答案為：3，66；
（2）設(shè)∠DCA＝x°＝∠DAC，
∵AB平分∠OAC，
∴∠DAC＝∠DAO＝x°，
由題意可得：3x°+24°＝180°，
∴x＝52，
∴∠OBA＝180°﹣48°﹣52°＝80°；
（3）當(dāng)點C在AD的右側(cè)時，∵∠ADC＝∠OAB+∠AOD＝114°，
∴∠DAC＝∠DCA＝33°，
∴∠OAC＝123°；
當(dāng)點C在AD的左側(cè)時，
若∠DAC＝∠CDA＝66°時，∠OAC＝90°﹣66°＝24°；
若∠DAC＝∠DCA時，則∠DAC＝＝57°，
∴∠OAC＝33°；
若∠ADC＝∠ACD＝66°，則∠DAC＝48°，
∴∠OAC＝42°，
綜上所述：∠OAC的度數(shù)為123°或24°或33°或42°．
17．解：（1）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∵90°÷30°＝3，
∴△ABC為3倍角三角形，
故答案為：3；
（2）設(shè)最小內(nèi)角的度數(shù)為x°，則最大角為4x°，
當(dāng)最小角是等腰三角形的頂角時，則底角為4x°，得：
4x+4x+x＝180，
解得x＝20，
當(dāng)最小角是等腰三角形的底角時，則底角為x°，得：
4x+x+x＝180，
解得x＝30，
∴最小內(nèi)角的度數(shù)為20°或30°；
（3）∵∠BAD＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠DAF，
在△BAE和△DAF中，
，
∴△BAE≌△DAF（ASA），
∴AE＝AF，
∵∠F＝75°，
∴∠EAF＝180°﹣75°×2＝30°，
∴∠BAD＝∠EAF＝30°，
∵∠B＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝125°，
∵125°÷25°＝5，
∴△ABC為5倍角三角形，
∵∠D＝25°，∠DCE＝∠ACB＝125°，
∴∠CED＝180°﹣∠D﹣∠DCE＝30°，
∵125°÷25°＝5，
∴△DEC為5倍角三角形，
∴圖中的n倍角三角形有△ABC和△DEC，它們都是5倍角三角形．
18．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝∠EDF，
∴∠C＝∠EDF，
∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC，
∴∠BED＝∠CDF，
在△BDE和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（ASA），
∴DE＝DF．
19．證明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
又∵AB＝AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．
②當(dāng)點D在BC的延長線上時①的結(jié)論仍成立．
由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠FAC，
又∵AB＝AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ACF＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．
即CF⊥BD．
（2）當(dāng)∠ACB＝45°時，CF⊥BD（如圖）．
理由：過點A作AG⊥AC交CB的延長線于點G，
則∠GAC＝90°，
∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，
∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACB＝∠AGC＝45°，
∴AC＝AG，
∵∠DAG＝∠FAC（同角的余角相等），AD＝AF，
∴△GAD≌△CAF，
∴∠ACF＝∠AGC＝45°，
∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．
20．（1）證明：∵PB＝PD，
∴∠2＝∠PBD，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠C＝45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1＝45°，
∴∠1＝∠C＝45°，
∵∠3＝∠PBC﹣∠1，∠4＝∠2﹣∠C，
∴∠3＝∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP＝∠PED＝90°，
在△BPO和△PDE中
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
（2）證明：由（1）可得：∠3＝∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP＝∠3，
∴∠ABP＝∠4，
在△ABP和△CPD中
∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP＝CD．
21．證明：（1）延長EB到G，使BG＝DF，連接AG．
∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴AG＝AF，∠1＝∠2．
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
又∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD
（2）（1）中的結(jié)論EF＝BE+FD仍然成立．
（3）結(jié)論EF＝BE+FD不成立，應(yīng)當(dāng)是EF＝BE﹣FD．
證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD
＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．
22．解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF，
∵CA＝CB，∠BEC＝∠CFA；
∴△BCE≌△CAF，
∴BE＝CF；EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．
②所填的條件是：∠α+∠BCA＝180°．
證明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣∠α．
∵∠BCA＝180°﹣∠α，
∴∠CBE+∠BCE＝∠BCA．
又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA，
∴∠CBE＝∠ACF，
又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CFA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）
∴BE＝CF，CE＝AF，
又∵EF＝CF﹣CE，
∴EF＝|BE﹣AF|．
（2）猜想：EF＝BE+AF．
證明過程：
∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF＝180°，
∴∠BCE＝∠CAF，
又∵BC＝CA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE＝CF，EC＝FA，
∴EF＝EC+CF＝BE+AF．
23.解：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，AE＝CF，

在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF；
∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF＝30°，
∴AE＝BE，CF＝BF；
∵∠MBN＝60°，BE＝BF，
∴△BEF為等邊三角形；
∴AE+CF＝BE+BF＝BE＝EF；
圖2成立，圖3不成立．
證明圖2．
延長DC至點K，使CK＝AE，連接BK，
在△BAE和△BCK中，
則△BAE≌△BCK，
∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，
∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°，
∴∠FBC+∠ABE＝60°，
∴∠FBC+∠KBC＝60°，
∴∠KBF＝∠FBE＝60°，
在△KBF和△EBF中，
∴△KBF≌△EBF，
∴KF＝EF，
∴KC+CF＝EF，
即AE+CF＝EF．
圖3不成立，
AE、CF、EF的關(guān)系是AE﹣CF＝EF．
24．證明：（1）過D作DF∥CE，交BC于F，
則∠E＝∠GDF．
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC
∵DF∥CE，
∴∠DFB＝∠ACB，
∴∠DFB＝∠ACB＝∠ABC．
∴DF＝DB．
∵CE＝BD，
∴DF＝CE，
在△GDF和△GEC中，
，
∴△GDF≌△GEC（AAS）．
∴GE＝GD．
25．證明：（1）①∵∠ADC＝∠ACB＝∠BEC＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°．
∴∠CAD＝∠BCE．
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB．
②∵△ADC≌△CEB，
∴CE＝AD，CD＝BE．
∴DE＝CE+CD＝AD+BE．
解：（2）∵∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE．
又∵AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE．
∴CE＝AD，CD＝BE．
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE．
（3）當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，AD、DE、BE所滿足的等量關(guān)系是DE＝BE﹣AD（或AD＝BE﹣DE，BE＝AD+DE等）．
∵∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
又∵AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．