高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)必修 第一冊5.1 函數(shù)的概念和圖象教案

這是一份高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)必修 第一冊5.1 函數(shù)的概念和圖象教案，共5頁。

本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)》蘇教版必修1第五章《函數(shù)概念與性質(zhì)》的第一課時(shí)。托馬斯說：“函數(shù)概念是近代數(shù)學(xué)思想之花” 。 生活中的許多現(xiàn)象如物體運(yùn)動(dòng)，氣溫升降，投資理財(cái)?shù)榷伎梢杂煤瘮?shù)的模型來刻畫，是我們更好地了解自己、認(rèn)識世界和預(yù)測未來的重要工具。函數(shù)是數(shù)學(xué)的重要的基礎(chǔ)概念之一，是高等數(shù)學(xué)重多學(xué)科的基礎(chǔ)概念和重要的研究對象。同時(shí)函數(shù)也是物理學(xué)等其他學(xué)科的重要基礎(chǔ)知識和研究工具，教學(xué)內(nèi)容中蘊(yùn)涵著極其豐富的辯證思想。函數(shù)的的重要性正如恩格斯所說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)就進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法就進(jìn)入了數(shù)學(xué)”。
1.教學(xué)重點(diǎn)：對函數(shù)概念的理解，用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)；
2.教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)概念及符號y=f(x)的理解。
多媒體調(diào)試、講義分發(fā)。
預(yù)習(xí)課本P97～99，思考并完成以下問題
1．函數(shù)的定義：
設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù)，通常記為y＝f(x)，x∈A.
[點(diǎn)評]
(1)集合的特殊性：集合A和B不能為空集，并且必須為數(shù)集．
(2)對應(yīng)的方向性：其方向性是指對A中的任何一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有數(shù)f(x)與之對應(yīng)，先是集合A，其次是集合B.
(3)對應(yīng)的唯一性：是指與集合A中的數(shù)x對應(yīng)的集合B中的數(shù)f(x)是唯一確定的．
2．函數(shù)的定義域在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，所有的輸入值x組成的集合A叫做函數(shù)y＝f(x)的定義域．
[點(diǎn)評]
(1)函數(shù)的定義域必須用集合或區(qū)間來表示，它是一個(gè)數(shù)集；
(2)對于用解析式表示的函數(shù)，如果沒有指明定義域，那么就認(rèn)為函數(shù)的定義域是指函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量的集合；
(3)如果函數(shù)涉及實(shí)際問題，定義域必須考慮自變量的實(shí)際意義．
題型一 函數(shù)概念的理解
[典例] 判斷下列對應(yīng)是否為函數(shù)：
(1)x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；
(2)x→y＝eq \f(1,6)x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；
(3)x→y＝3x＋1，x∈R，y∈R.
[解] (1)當(dāng)在集合{x|0≤x≤6}中取x＝6時(shí)，在集合{y|0≤y≤3}中沒有y的值與之對應(yīng)，因此不能確定y是x的函數(shù)；
(2)當(dāng)在集合{x|0≤x≤6}中任取一個(gè)x的值后，都能在集合{y|0≤y≤3}中確定唯一的y的值與之對應(yīng)，故可以確定y是x的函數(shù)；
(3)當(dāng)在實(shí)數(shù)集R上任取一個(gè)x的值后，都能在實(shí)數(shù)集R上確定唯一的y值與之對應(yīng)，故可以確定y是x的函數(shù)．
點(diǎn)評：判斷一個(gè)對應(yīng)是不是函數(shù)，關(guān)鍵看與自變量x對應(yīng)的y值是不是唯一，函數(shù)可以允許多個(gè)不同的x的值對應(yīng)一個(gè)y值，但不允許一個(gè)x對應(yīng)兩個(gè)或兩個(gè)以上的y值．
[變式訓(xùn)練]
下列對應(yīng)或關(guān)系式中是A到B的函數(shù)的序號為________．
①A∈R，B∈R，x2＋y2＝1；
②A＝{1,2,3,4}，B＝(0,1)，對應(yīng)關(guān)系如圖：
③A＝R，B＝R，f：x→y＝eq \f(1,x－2)；
④A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq \r(2x－1).
答案：②
題型二 相同函數(shù)的判斷
[典例] 下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是__________(填序號)．
(1)y＝x－1和y＝eq \f(x2－1,x＋1)；
(2)y＝x0和y＝1；
(3)f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2；
(4)f(x)＝eq \f(?\r(x)?2,x)和g(x)＝eq \f(x,?\r(x)?2).
[解析] (1)因?yàn)閥＝x－1定義域?yàn)镽，
函數(shù)y＝eq \f(x2－1,x＋1)定義域?yàn)閧x|x≠－1，x∈R}，
定義域不相同，故不是同一函數(shù)．
(2)y＝x0定義域?yàn)閧x|x≠0，x∈R}，
函數(shù)y＝1定義域?yàn)镽，
定義域不相同，故不是同一函數(shù)．
(3)函數(shù)f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2對應(yīng)法則不一致，故不是同一函數(shù)．
(4)函數(shù)f(x)＝eq \f(?\r(x)?2,x)和g(x)＝eq \f(x,?\r(x)?2)定義域都是(0，＋∞)，它們對應(yīng)法則也一致，故是同一函數(shù)．
[答案] (4)
點(diǎn)評：如果兩個(gè)函數(shù)定義域相同，并且對應(yīng)法則完全一致，那么這兩個(gè)函數(shù)就是同一函數(shù)，故判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同時(shí)，一看定義域，二看對應(yīng)法則．
[活學(xué)活用]
下列函數(shù)y＝(eq \r(x))2；y＝eq \f(x2,x)，y＝eq \r(3,x3)，y＝eq \r(x2)與函數(shù)y＝x是同一函數(shù)的是________．
答案：y＝eq \r(3,x3)
題型三 求函數(shù)值
[典例] 已知f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)(x≠－1)．求：
(1)f(0)及f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))的值；
(2)f(1－x)及f(f(x))．
[解] (1)f(0)＝eq \f(1－0,1＋0)＝1，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq \f(1,3)，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(1－\f(1,3),1＋\f(1,3))＝eq \f(1,2).
(2)f(1－x)＝eq \f(1－?1－x?,1＋?1－x?)＝eq \f(x,2－x)(x≠2)，
f(f(x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＝eq \f(1－\f(1－x,1＋x),1＋\f(1－x,1＋x))＝x(x≠－1)．
點(diǎn)評：(1)函數(shù)值f(a)就是a在對應(yīng)法則f下的對應(yīng)值，因此由函數(shù)關(guān)系求函數(shù)值，只需將f(x)中的x用對應(yīng)的值(包括值在定義域內(nèi)的代數(shù)式)代入即得．
(2)求f(f(f(a)))時(shí)，一般要遵循由里到外逐層計(jì)算的原則．
[變式訓(xùn)練]
已知f(x)＝eq \f(1,1＋x)(x≠－1)，g(x)＝x2＋2，則f(2)＝________，f(g(2))＝________.
解析：∵f(x)＝eq \f(1,1＋x)，
∴f(2)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3).
又∵g(x)＝x2＋2，
∴g(2)＝22＋2＝6，
∴f(g(2))＝f(6)＝eq \f(1,1＋6)＝eq \f(1,7).
答案：eq \f(1,3) eq \f(1,7)
題型四 求函數(shù)的定義域
[典例] 求下列函數(shù)的定義域．
(1)y＝3－eq \f(1,2)x；
(2)y＝2eq \r(x)－eq \r(1－7x)；
(3)y＝eq \f(?x＋1?0,\r(x＋2))；
(4)y＝eq \r(2x＋3)－eq \f(1,\r(2－x))＋eq \f(1,x).
解 (1)函數(shù)y＝3－eq \f(1,2)x的定義域?yàn)镽.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,1－7x≥0，))得0≤x≤eq \f(1,7)，
所以函數(shù)y＝2eq \r(x)－eq \r(1－7x)的定義域?yàn)閑q \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,7))).
(3)由于0的零次冪無意義，
故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，
所以x>－2且x≠－1.
所以函數(shù)y＝eq \f(?x＋1?0,\r(x＋2))的定義域?yàn)閑q \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－2且x≠－1)))).
(4)要使函數(shù)有意義，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3≥0，,2－x>0，,x≠0，))
解得－eq \f(3,2)≤x＜2，且x≠0，
所以函數(shù)y＝eq \r(2x＋3)－eq \f(1,\r(2－x))＋eq \f(1,x)的定義域?yàn)閑q \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)≤x＜2，且x≠0)))).
點(diǎn)評：求函數(shù)定義域的常用依據(jù)
(1)若f(x)是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零；
(2)若f(x)是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零；
(3)若f(x)是指數(shù)冪，則函數(shù)的定義域是使指數(shù)冪運(yùn)算有意義的實(shí)數(shù)集合；
(4)若f(x)是由幾個(gè)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域要使各個(gè)式子都有意義；
(5)若f(x)是實(shí)際問題的解析式，則應(yīng)符合實(shí)際問題，使實(shí)際問題有意義．
為了使學(xué)生了解函數(shù)概念產(chǎn)生的背景，豐富函數(shù)的感性認(rèn)識，獲得認(rèn)識客觀世界的體驗(yàn)，本章采用“突出主題，螺旋上升，反復(fù)應(yīng)用”的方式，以實(shí)際問題為主線，由淺入深，將函數(shù)的知識串聯(lián)起來，既完善了知識體系完整性、系統(tǒng)性，又體現(xiàn)了知識之間的有機(jī)聯(lián)系和一以貫之的研究手段．課程目標(biāo)
學(xué)科素養(yǎng)
A．進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型。
B．能用集合與對應(yīng)的語言刻畫出函數(shù)，體會(huì)對應(yīng)關(guān)系刻畫數(shù)學(xué)概念中的作用。
C.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡單函
數(shù)的定義域。
a數(shù)學(xué)抽象:函數(shù)概念的理解，函數(shù)的表示。
b邏輯推理:f(x)與f(a)的關(guān)系
c數(shù)學(xué)運(yùn)算:函數(shù)的定義域的求解，
d數(shù)學(xué)建模:用函數(shù)的思想對實(shí)際生活中的對象進(jìn)行判
斷與歸類。