多維層次練36-數(shù)列的綜合應(yīng)用學案

這是一份多維層次練36-數(shù)列的綜合應(yīng)用學案，共9頁。
多維層次練36  數(shù)列的綜合應(yīng)用[鞏固提升練]1.若數(shù)列{an}的通項公式是an＝（－1）n（3n－2），則a1＋a2＋…＋a10＝（　?。?/span>A.15   B.12  C.－12   D.－15解析：a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28＝5×3＝15.答案：A2.在數(shù)列{an}中，若an＋1＋（－1）nan＝2n－1，則數(shù)列{an}的前12項和等于（　?。?/span>A.76   B.78  C.80   D.82解析：由已知an＋1＋（－1）nan＝2n－1，得an＋2＋（－1）n＋1 an＋1＝2n＋1，得an＋2＋an＝（－1）n（2n－1）＋（2n＋1），取n＝1，5，9及n＝2，6，10，結(jié)果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.故選B.答案：B3.（2020·開封調(diào)研）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n（n∈N*），則S2 018等于（　?。?/span>A.22 018－1   B.3×21 009－3C.3×21 009－1   D.3×21 008－2解析：因為a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2，所以＝2.所以a1，a3，a5，…成等比數(shù)列；a2，a4，a6，…成等比數(shù)列，所以S2 018＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 017＋a2 018＝（a1＋a3＋a5＋…＋a2 017）＋（a2＋a4＋a6＋…＋a2 018）＝＋＝3×21 009－3.故選B.答案：B4.（2020·鄭州質(zhì)量預(yù)測）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，a2＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0（n∈N*），記Tn＝＋＋…＋（n∈N*），則T2 018＝（　　）A.   B.  C.   D.解析：由an＋2－2an＋1＋an＝0（n∈N*），可得an＋2＋an＝2an＋1，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差d＝a2－a1＝2－1＝1，通項公式an＝a1＋（n－1）×d＝1＋n－1＝n，則其前n項和Sn＝＝，所以＝＝2，Tn＝＋＋…＋＝2（1－＋－＋…＋－）＝2＝，故T2 018＝＝，故選C.答案：C5.已知數(shù)列{an}，若an＋1＝an＋an＋2（n∈N*），則稱數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”.已知數(shù)列{bn}為“凸數(shù)列”，且b1＝1，b2＝－2，則數(shù)列{bn}的前2 020項和為（　?。?/span>A.5   B.－5  C.0   D.－4解析：由“凸數(shù)列”的定義及b1＝1，b2＝－2，得b3＝－3，b4＝－1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝－2，…，所以數(shù)列{bn}是周期為6的周期數(shù)列，且b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＝0，于是數(shù)列{bn}的前2 020項和等于b1＋b2＋b3＋b4＝－5.答案：B6.（多選題）數(shù)列{an}滿足a1＝1，且對任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，則（　?。?/span>A.an＝B.數(shù)列的前100項和為C.數(shù)列的前100項和為D.數(shù)列{an}的第100項為50 050解析：因為an＋1＝an＋n＋1，所以an＋1－an＝n＋1，又a1＝1，所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋2＋1＝，數(shù)列{an}的第100項為5 050，故A正確，D錯誤.所以＝＝2，所以數(shù)列的前100項和為2[＋＋…＋]＝2＝.故B正確，C錯誤.答案：AB7.[2020·湖南三湘名校（五十校）第一次聯(lián)考]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1.當n≥2時，an＋2Sn－1＝n，則S2 019＝　　　　Ｗ.解析：由an＋2Sn－1＝n（n≥2），得an＋1＋2Sn＝n＋1，兩式作差可得an＋1－an＋2an＝1（n≥2），即an＋1＋an＝1（n≥2），所以S2 019＝1＋×1＝1 010.答案：1 0108.數(shù)列{an}的通項公式為an＝ncos ，其前n項和為Sn，則S2 020＝ 　　　　.解析：因為數(shù)列an＝ncos 呈周期性變化，觀察此數(shù)列規(guī)律如下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4.故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2.a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，故a5＋a6＋a7＋a8＝2，所以周期T＝4.所以S2 020＝×2＝1 010.答案：1 0109.（2020·深圳第一次模擬）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，an＋1＝2＋Sn（n∈N*）.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn＝1＋log2（an）2，求證：數(shù)列的前n項和Tn<.（1）解：因為an＋1＝2＋Sn（n∈N*），所以an＝2＋Sn－1（n≥2）.所以an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，所以an＋1＝2an（n≥2），又因為a2＝2＋a1＝4，a1＝2，所以a2＝2a1，所以數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，則an＝2·2n－1＝2n（n∈N*）.（2）證明：因為bn＝1＋log2（an）2，則bn＝2n＋1.則＝，所以Tn＝（－＋－＋…＋－）＝（－）<.10.（2020·贛州信豐中學高考適應(yīng)性測試）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，且a2＝8，Sn＝－n－1.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和Tn.解：（1）因為a2＝8，Sn＝－n－1，所以a1＝S1＝－2＝2，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－n－1－，即an＋1＝3an＋2，又a2＝8＝3×a1＋2，所以an＋1＝3an＋2，n∈N*，所以an＋1＋1＝3（an＋1），所以數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，且首項為a1＋1＝3，公比為3，所以an＋1＝3×3n－1＝3n，所以an＝3n－1.（2）＝＝－.所以數(shù)列的前n項和Tn＝（－）＋（－）＋…＋（－）＝－－.[綜合應(yīng)用練]11.（2020·鄭州模擬）數(shù)列{an}滿足：a1＝1，且對任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋mn，則＋＋＋…＋＝（　?。?/span>A.   B.  C.   D.解析：因為a1＝1，且對任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，所以an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，用累加法可得an＝a1＋＝，所以＝＝2，所以＋＋＋…＋＝2[（1－）＋（－）＋…＋（－）]＝.答案：D12.（2020·黑龍江牡丹江一中模擬）已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，4a3＝a6，是等差數(shù)列，則數(shù)列{（－1）nan}的前10項的和S10是（　?。?/span>A.220   B.110  C.99   D.55解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則＝a1＋5d，＝＋3d，將已知值和等量關(guān)系代入，計算得d＝2，所以＝a1＋（n－1）d＝2n，an＝2n2，所以S10＝－a1＋a2－a3＋a4－…＋a10＝2（1＋2＋…＋10）＝110，故選B.答案：B13.（2020·肇慶模擬）正項數(shù)列{an}中，滿足a1＝1，a2＝，＝（n∈N*），那么a1·a3＋a2·a4＋a3·a5＋…＋an·an＋2＝　　　.解析：由＝（n∈N*），可得a＝anan＋2，所以數(shù)列{an}為等比數(shù)列.因為a1＝1，a2＝，所以q＝，所以an＝，所以an·an＋2＝·＝，所以a1·a3＝，所以a1·a3＋a2·a4＋a3·a5＋…＋an·an＋2＝＋＋…＋＝＝.答案：14.（2020·安徽太和模擬）設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝1，an＋1＋SnSn＋1＝0，則Sn＝　　　　　　，數(shù)列{SnSn＋1}的前n項和為　　　　.解析：因為an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＋SnSn＋1＝0，所以Sn＋1－Sn＋SnSn＋1＝0，所以－＝1.又因為＝＝1，所以是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以＝n，所以Sn＝.所以SnSn＋1＝＝－，所以Tn＝＋＋…＋＝1－＝.答案：　15.已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.（1）求{an}和{bn}的通項公式；（2）設(shè)cn＝anbn，n∈N*，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，數(shù)列{bn}的公差為d，由題意知q>0.由已知，有消去d，整理得q4－2q2－8＝0.因為q>0，解得q＝2，所以d＝2.所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1，n∈N*；數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n－1，n∈N*.（2）由（1）知cn＝（2n－1）·2n－1，設(shè){cn}的前n項和為Sn，則Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋（2n－3）×2n－2＋（2n－1）×2n－1，2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋（2n－3）×2n－1＋（2n－1）×2n，上述兩式相減，得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－（2n－1）×2n＝2n＋1－3－（2n－1）×2n＝－（2n－3）×2n－3，所以，Sn＝（2n－3）·2n＋3，n∈N*.[拔高創(chuàng)新練]16.（2020·寧夏銀川月考）已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2sin，則a1＋a2＋a3＋…＋a10＝（　　）A.110   B.100  C.55   D.0解析：因為·π＝nπ＋，n∈N*，所以an＝n2sin＝所以a1＋a2＋a3＋…＋a10＝22－12＋42－32＋…＋102－92＝（2－1）×（2＋1）＋（4－3）×（4＋3）＋…＋（10－9）×（10＋9）＝1＋2＋3＋…＋10＝＝55.故選C.答案：C