課時(shí)過關(guān)檢測(cè)（三十四） 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

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課時(shí)過關(guān)檢測(cè)（三十四）  等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和A級(jí)——基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．(2021·云南昆明一模)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，若a1＝1，a3＝2a2＋3，則其前3項(xiàng)的和S3＝(　　)A．3 B．9C．13 D．24解析：選C　設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，∵a1＝1，a3＝2a2＋3，∴q2＝2q＋3，解得q＝3(負(fù)值舍去)．則其前3項(xiàng)的和S3＝1＋3＋32＝13.故選C.2．已知等比數(shù)列{an}中，a4＋a8＝－2，則a6(a2＋2a6＋a10)的值為(　　)A．4 B．6C．8 D．－9解析：選A　a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2，因?yàn)?/span>a4＋a8＝－2，所以a6(a2＋2a6＋a10)＝4.3．(2021·湖北宜昌模擬)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且anan＋1＝，則＝(　　)A． B．28C． D．解析：選A　設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，∵anan＋1＝，∴q2＝＝，解得q＝.則＝＝1＋q3＝.故選A.4．(2020·全國卷Ⅱ)數(shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k＝(　　)A．2 B．3C．4 D．5解析：選C　令m＝1，則由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an，即＝a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，所以an＝2n，所以ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝ak(a1＋a2＋…＋a10)＝2k×＝2k＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4，故選C.5．(多選)已知數(shù)列{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，且＋＝，則a5的值可能是(　　)A．2 B．4C. D．解析：選ABD　依題意，數(shù)列{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，∴a3＞0，a7＞0，a5＞0，∴＝＋≥2 ＝，因?yàn)?/span>a5＞0，所以上式可化為a5≥2.故選A、B、D.6．(多選)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．?dāng)?shù)列是公比為q2的等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列是公比為q的等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是公比為q的等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列是公比為的等比數(shù)列解析：選AD　對(duì)于A，由＝q2(n≥2)知數(shù)列{anan＋1}是公比為q2的等比數(shù)列；對(duì)于B，當(dāng)q＝－1時(shí)，數(shù)列{an＋an＋1}的項(xiàng)中有0，不是等比數(shù)列；對(duì)于C，若q＝1時(shí)，數(shù)列{an－an＋1}的項(xiàng)中有0，不是等比數(shù)列；對(duì)于D，＝＝，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故選A、D.7．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝，a＝a4，則S5＝        .解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.∵a1＝，a＝a4，∴2＝×q3，解得q＝2或q＝0(不合題意，舍去)．∴S5＝＝.答案：8.如圖所示，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形，…，如此繼續(xù)下去得到一個(gè)樹狀圖形，稱為“勾股樹”．若某勾股樹含有1 023個(gè)正方形，且其最大的正方形的邊長(zhǎng)為，則其最小正方形的邊長(zhǎng)為        ．解析：由題意，得正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，現(xiàn)已知共得到1 023個(gè)正方形，則有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10，∴最小正方形的邊長(zhǎng)為×9＝.答案：9. (2021·鄭州市高三第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3an－2n(n∈N*)，若{an＋λ}成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ＝        .解析：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3an－2n(n∈N*)，①則n≥2時(shí)，Sn－1＝3an－1－2(n－1)，②①－②，得an＝3an－3an－1－2，∴2an＝3an－1＋2，∴an＝an－1＋1，若{an＋λ}成等比數(shù)列，∴an＋λ＝(an－1＋λ)，解得λ＝2.答案：210．(2021·福建省高三模擬)已知{an}是遞減的等比數(shù)列，且a2＝2，a1＋a3＝5，則{an}的通項(xiàng)公式為        ；a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝        .解析：由a2＝2，a1＋a3＝5，{an}是遞減的等比數(shù)列，得a1＝4，a3＝1，an＝4×n－1，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1是首項(xiàng)為8、公比為的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8＋2＋＋…＋8×n－1＝＝×.答案：an＝4×n－1　×11．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，記T2n為{an}的前2n項(xiàng)的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.(1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并求出bn；(2)求T2n.解：(1)∵an·an＋1＝n，∴an＋1·an＋2＝n＋1，∴＝，即an＋2＝an.∵bn＝a2n＋a2n－1，∴＝＝＝，∵a1＝1，a1·a2＝，∴a2＝，∴b1＝a1＋a2＝.∴{bn}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．∴bn＝×n－1＝.(2)由(1)可知，an＋2＝an，∴a1，a3，a5，…是以a1＝1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列；a2，a4，a6，…是以a2＝為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－.12．某地本年度旅游業(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該地出臺(tái)了一系列措施，進(jìn)一步發(fā)展旅游業(yè)，預(yù)計(jì)今后旅游業(yè)的收入每年會(huì)比上一年增加.(1)求n年內(nèi)旅游業(yè)的總收入；(2)試估計(jì)大約幾年后，旅游業(yè)的總收入超過8 000萬元？解：(1)設(shè)第n年的旅游業(yè)收入估計(jì)為an萬元，則a1＝400，an＋1＝an＝an，∴＝.∴{an}是首項(xiàng)為400，公比為的等比數(shù)列．∴Sn＝＝＝1 600，即n年內(nèi)旅游業(yè)總收入為1 600萬元．(2)由(1)知Sn＝1 600，令Sn>8 000，即1 600>8 000，∴n>6.∴lgn>lg 6.∴n>≈8.029 6.∴大約9年后，旅游業(yè)的總收入超過8 000萬元． B級(jí)——綜合應(yīng)用13．(2021·河北唐山一中月考)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝3n＋a，則數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為(　　)A. B．C. D．9n－1解析：選A　設(shè)數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為Tn.因?yàn)?/span>Sn＝3n＋a，所以Sn－1＝3n－1＋a(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1(n≥2)，且S1＝a1＝3＋a.又?jǐn)?shù)列{an}為等比數(shù)列，所以an＝2·3n－1且2＝3＋a，所以a＝－1.因?yàn)?/span>＝2＝9且a＝4，所以{a}是首項(xiàng)為4，公比為9的等比數(shù)列．所以{a}的前n項(xiàng)和Tn＝＝.故選A.14．(多選)(2021·遼陽市高三模擬)在等比數(shù)列{an}中，公比為q，其前n項(xiàng)積為Tn，并且滿足a1＞1，a99·a100－1＞0，＜0，下列選項(xiàng)中正確的是(　　)A．0＜q＜1B．a99·a101－1＜0C．T100的值是Tn中最大的D．使Tn＞1成立的最大自然數(shù)n等于198解析：選ABD　對(duì)于A，∵a99a100－1＞0，∴a·q197＞1，∴(a1·q98)2·q＞1.∵a1＞1，∴q＞0.又∵＜0，∴a99＞1，且a100＜1.∴0＜q＜1，故A正確；對(duì)于B，∵a＝a99·a101，a100<1，∴0＜a99·a101＜1，即 a99·a101－1＜0，故B正確；對(duì)于C，由于T100＝T99·a100，而0＜a100＜1，故有 T100＜T99，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，T198＝a1·a2·…·a198＝(a1·a198)(a2·a197)·…·(a99·a100)＝(a99·a100)99＞1，T199＝a1·a2·…·a199＝(a1·a199)(a2·a198)…(a99·a101)·a100＜1，故D正確．故選A、B、D.15．(2021·淄博市高考數(shù)學(xué)一模)等差數(shù)列{an}(n∈N*)中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且其中的任何兩個(gè)數(shù)都不在下表的同一列. 第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669 (1)請(qǐng)選擇一個(gè)可能的{a1，a2，a3}組合，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)記(1)中您選擇的{an}的前n項(xiàng)和為Sn，判斷是否存在正整數(shù)k，使得a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，若有，請(qǐng)求出k的值；若沒有，請(qǐng)說明理由．解：(1)由題意可知，有兩種組合滿足條件：①a1＝8，a2＝12，a3＝16，此時(shí)等差數(shù)列{an}，a1＝8，d＝4，所以其通項(xiàng)公式為an＝8＋(n－1)×4＝4n＋4；②a1＝2，a2＝4，a3＝6，此時(shí)等差數(shù)列{an}，a1＝2，d＝2，所以其通項(xiàng)公式為an＝2n.(2)若選擇①，Sn＝＝2n2＋6n.則Sk＋2＝2(k＋2)2＋6(k＋2)＝2k2＋14k＋20.若a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，則a＝a1·Sk＋2，即(4k＋4)2＝8(2k2＋14k＋20)，整理得5k＝－9，此方程無正整數(shù)解，故不存在正整數(shù)k，使a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列．若選擇②，Sn＝＝n2＋n，則Sk＋2＝(k＋2)2＋(k＋2)＝k2＋5k＋6，若a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，則a＝a1·Sk＋2，即(2k)2＝2(k2＋5k＋6)，整理得k2－5k－6＝0，因?yàn)?/span>k為正整數(shù)，所以k＝6.故存在正整數(shù)k＝6，使a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列． C級(jí)——遷移創(chuàng)新 16．(2021·廣東梅州質(zhì)量檢測(cè))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，且Sn＝λan－1(λ為常數(shù))．若數(shù)列{bn}滿足anbn＝－n2＋9n－20，且bn＋1<bn，則滿足條件的n的取值集合為        ．解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝λa1－1.又a1＝1，∴λ－1＝1，解得λ＝2.∴Sn＝2an－1，∴Sn－1＝2an－1－1(n≥2)．∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1.又anbn＝－n2＋9n－20，∴bn＝，∴bn＋1－bn＝－＝<0.又2n>0，∴n2－11n＋28＝(n－4)(n－7)<0，解得4<n<7.又n∈N*，∴滿足條件的n的取值集合為{5,6}．答案：{5,6}